Möglicherweise hängt das mit dem neuen Akku und dem was der Rechner bzw.
dessen USB-Anschluss an Output liefert. Evtl kommt am USB-Port zuviel oder
zu wenig Strom an. Anders kann ich mir das nicht erklären, wenn es ansonsten
problemlos funktioniert.

Persönliche Meinung? Besorge dir einen passenden Akku von Extremecells
(die bieten ihre Akkus auch über eBay an) und mach den Gegenversuch.
Klappt es damit, dann lag's am anderen Akku, wenn nicht, ist die Ursache
woanders zu suchen.

Kleiner Tipp noch am Rande: es hat sich als hilfreich erwiesen, den neuen
Akku erst mal leer laufen zu lassen (entweder bis auf 1% oder bis das iPhone
aus geht) und dann komplett durch zu laden bis auf 100%, damit der
Ladecontroller kalibriert wird.