Problem ist behoben. Es war wohl was "globales" ...

Im Amazon-Forum waren entsprechend viele Einträge. Wie es scheint, konnten neu gekaufte Apple TV sich nicht bei Prime anmelden. "Alte", die zurückgesetzt wurden gingen problemlos. Es betraf nur Leute, die den Apple TV ab Samstag gekauft hatten. Apple/Amazon haben es aber nun gefixt.