Du verbindest Dich aktuell per Quick-Connect?

Ich kann da leider nur theoretisieren, da ich meine Syn nach außen dicht habe.

Der Browserzugriff ist m.W. per Quick-Connect geregelt, für Zugriff per WebDAV wirst Du um eine Konfiguration des Routers wohl nicht herumkommen, schau mal, ob Du den zweiten Teil dieser Anleitung aus der Ferne regeln kannst, ich vermute eher nicht.
https://www.synology.com/en-global/knowledgebase/DSM/tutoria … ork/How_to_make_Synology_NAS_accessible_over_the_Internet