ein klares Jein

Das hängt von der Implementierung der Software ab.

Fall A: eine Datenbank. Die Mandanten hängen als Datensatz in einer Tabelle jeweils mit einer eindeutigen ID. Die Datensätze des Mandanten sind alle mit dieser ID gekennzeichnet. Wechsel von A zu B werden die IDs des Mandanten A mit der des Mandanten B versehen.

Fall B: die Mandanten liegen in einer DB. Die Mandantendaten liegen in einer DB des Mandanten. Dann müssen die Daten aus der DB des Mandanten A in die DB des Mandanten B kopiert werden.
Das kann auf DB Ebene passieren, dass kann auf API Ebene passieren...wer weiß

Fall C: komplett getrennte Installationen. Getrennte Rechner. Grundsätzlich wie Fall B aber mit Netzwerkstack oder Datenträger dazwischen.

Fall D:....

Fall E:.....

lass dir das von dem IT Unternehmen erklären, wie das geregelt ist.

Letztendlich gibt es für sowas NDAs und ADVs. Sofern du am Rechner sitzt hast du immer in einer Art Zugriff auf die Daten.