Ich hab‘s eben bei meiner Apple-ID überprüft, da scheint alles korrekt zu sein; d.h. ich kann dort anwendugsspezifische Passworte erstellen.

Mehr als alle Apple-Cookies im Browser zu löschen, kannst Du wahrscheinlich auf Deiner Seite nicht unternehmen - wenn‘s dann noch immer nicht klappt, würde ich mich an den Apple-Support wenden.