Es gibt keinen "Sync" zwischen Apple-Geräten für Mails ...

alle Mail-Clients greifen immer direkt auf den Mailserver des jeweiligen Email-Providers zu und holen da die Mails ab.
Von daher muß es irgendwie an den Einstellungen des Accounts auf den jeweiligen Geräten liegen. Die Frage ist schon mal, mit welchem Protokoll Du auf den jeweiligen Geräten die Mails abrufst. Es gibt zwei Hauptprotokolle: POP und IMAP.
Bei IMAP ist der Mailserver immer der Master, wo alle Mails immer bleiben bzw. eben alle Lösch/Kopier/usw.-Vorgänge passieren. Alle Clients, die mit IMAP zugreifen, spiegeln sozusagen immer nur den Mailserver beim Provider. Das ist für mehrere Geräte eigentlich sinnvoll. Hat nur den Nachteil, daß man beim Provider soviel Speicherplatz braucht wie man eben Mails hat. Also etliche GB meistens, je nach Art der Nutzung.
POP dagegen arbeitet von der Idee her so, daß neue Mails runtergeladen werden und dann z.B. direkt vom Mailserver gelöscht werden (muß aber nicht). Nur der Client der beim Abrufen der Mails noch neue Mails "findet", kriegt die auch. Sprich wenn man nach dem Abruf die neuen vom Server löschen lässt, kriegen die anderen Clients die nicht mehr. Hat den Vorteil, daß wenig Speicher beim Provider notwendig ist, aber für die Zusammenarbeit mehrerer Clients aufs gleiche Postfach ist das problematisch bzw. dann mangelhaft.

Schau doch mal als erstes, was an dem Macs in den Einstellungen von Mail > Accounts steht:



Hier bei mir siehst Du bei jedem der drei Accounts, daß "IMAP" druntersteht.

Beim iPhone ist es leider ein wenig komplizierter zu finden: Einstellungen > Apps > Mail > Mail-Accounts > den entsprechenden Account anklicken > Accounteinstellungen. Dann steht bei mir ganz oben über Name "IMAP-Accountinfo". Steht da bei Dir auch IMAP oder POP?

Ansonsten würde ich mal schauen wie die Einstellungen ansonsten so sind in Sachen wann welche Mails gelöscht werden sollen, usw. Evtl. sind die Geräte da unterschiedlich eingestellt, obwohl z.B. alle IMAP verwenden.
----------
Das Wahlvolk will betrogen werden, aber einen gewissen Qualitätsanspruch wird man doch haben dürfen. (Georg Schramm)