Providerwechsel - Folgen?

Moin!
Ich überlege, von Telekom zu Vodafone zu wechseln.
(Vodafone schickt mir ein Angebot, das ich "nicht ablehnen" kann)
Nun ist es so, dass ich bei der Telekom eine Email-Adresse habe, die ich auch fleißig benutzt habe. Wie ist das eigentlich, sind meine alten Emails dann auch alle weg? Die sind doch auf dem Telekom-Server gespeichert, oder? Oder anders gefragt, muss ich, bzw. wie kann ich die Emails lokal auf meinem Mac sichern?
Die Frage mag naiv erscheinen, aber dann bin ich es eben.