Wenn das TM Backup auf einem NAS liegt wird das am Desktop nicht angezeigt, es wird im Hintergrund gemountet. Und ja es kann schon mal dauern bis da zugegriffen wird. Grundsätzlich funktioniert das aber. Mache das hier mit 2 Rechnern auf einen Synology NAS.

Dass Netzlaufwerke nach einem Neustart nicht mehr da sind, ist normal. Werden ja auch unmounted.
Wenn du sie jedoch korrekt in den Startobjekten hast sollten sie beim login gemountet werden.
Hast du die Zugangsdaten im Schlüsselbund gespeichert?
Hast du das gemountete Verzeichnis korrekt in deine Anmeldeobjekte in den Systemeinstellungen gezogen? Das sollte eigentlich funktionieren, machen wir hier alle seit Jahren so.

Es gäbe auch noch die Möglichkeit eines applescript
Das würde so aussehen: (statt afp kann auch smb verwendet werden, je nachdem wie du mounten willst)