Hm, hast Du evtl mehr als einen WLAN Access Point?
Ich hatte das mal, bevor ich das Roaming WLAN eingerichtet habe, dass ein iPad auf einem weiter entfernten WLAN eingeloggt war, und die Datenrate schlicht nicht reichte.

Hängt das AppleTV im LAN? Das ist immer die beste Lösung, was die Stabilität der Geschwindigkeit angeht.

Wenn das nicht der Fall ist, und das iPad Mini eine eigentlich gute Verbindung hat, versuche mal das zurücksetzen der Netzwerkeinstellungen. Da muss man sich zwar wieder neu einloggen, aber das hat auch schon des öfteren geholfen, wenn was mit WLAN oder Bluetooth nicht stimmte.
Einstellungen->Allgemein zurücksetzen->Netzwerkeinstellungen

Dann kannst Du mal das AppleTV neutralen und gleich danach probieren, vielleicht ist das was verheddert.

Das wären die Dinge, die ich erst mal auch machen würde:-)